Von Metamaterialien zu mikromorphen Kontinua: Ein spektraler und K-theoretischer Ansatz zur topologischen Elastizität

Topologische Phasen werden in der Regel im Zusammenhang mit diskreten Gittersystemen untersucht, bei denen Bandlücken und die Bloch-Theorie eine K-theoretische Klassifizierung ermöglichen. In der Elastizität weisen klassische homogene Kontinua jedoch keine Bandlücken auf und sind daher topologisch trivial. Erweiterte Modelle wie Cosserat oder „entspannte" mikromorphe Elastizität führen interne Freiheitsgrade ein, die optische Bandlücken erzeugen und die Existenz starker topologischer Phasen ermöglichen. In diesem Vortrag stelle ich einen operatortheoretischen Rahmen vor, mit dem eine Bandlücken-Metamaterials mit seinem homogenen mikromorphen Gegenstück verglichen werden kann. Da das angereicherte Modell auf einem größeren Hilbertraum wirkt, müssen die relevanten Unterräume spektral über Riesz-Projektionen und nicht durch feste Koordinatendekompositionen ausgewählt werden. Dies führt zu einer clusterabhängigen Identifizierung von Hilberträumen und einem stabilen Begriff der topologischen Äquivalenz von Volumen. Ich werde erläutern, wie Groupoid-C^*-Algebren die natürliche Kompaktifizierung des kontinuierlichen Impulsraums liefern und Bulk-Grenzflächen- sowie Bulk-Defekt-Korrespondenzen ergeben. In chiralen mikromorphen Medien erzeugt die Integration optischer Moden effektive Chern-Simons-Terme, die Bulk-Invarianten mit geschützten Oberflächenwellen verbinden. Das Ziel besteht darin, zu klären, wann homogenisierte angereicherte Kontinua den starken topologischen Inhalt des zugrunde liegenden Metamaterials wirklich beibehalten.