Topologische Beschränkungen lokalisierter Schwingungsmoden: Von Elektronen in Kristallen zu elastischen Wellen in strukturierten Medien

Die Fähigkeit, räumlich lokalisierte Moden zu konstruieren, die die Symmetrien einer periodischen Struktur respektieren, ist sowohl für elektronische als auch für mechanische Systeme von grundlegender Bedeutung. In kristallinen Materialien spielen diese Moden, die als Wannier-Funktionen bekannt sind, eine Schlüsselrolle bei der Modellierung und bei Simulationen. In Systemen mit nichttrivialen topologischen Eigenschaften können solche lokalisierten Darstellungen jedoch aufgrund versteckter globaler Beschränkungen, die durch die Symmetrie und Topologie des Materials auferlegt werden, nicht existieren.

In diesem Vortrag untersuchen wir, wann solche Hindernisse auftreten und wie sie durch einen symmetriebewussten mathematischen Rahmen erkannt werden können. Wir demonstrieren diesen Prozess anhand des Haldane-Modells, einem bekannten Beispiel für einen topologischen Isolator, und stellen eine systematische, algorithmische Methode vor, um symmetrieangepasste, exponentiell lokalisierte Wannier-Funktionen zu konstruieren, wann immer dies möglich ist.

Schließlich untersuchen wir, wie diese Ideen über elektronische Systeme hinaus angewandt werden können. Insbesondere zeigen wir, wie ähnliche, auf Symmetrie und Topologie basierende Einschränkungen das Verhalten elastischer Wellen in mechanischen Metamaterialien bestimmen und den Entwurf von Strukturen ermöglichen, welche robuste, lokalisierte Schwingungsmoden unterstützen. Diese Erkenntnisse ebnen den Weg für eine fortschrittliche Kontrolle der Wellenausbreitung in technischen mechanischen Systemen.